АВИАЦИОННЫХ СИСТЕМ

5.1. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ

При управлении техническим состоянием АС с учетом упреж­дающего допуска i*=^=F может восстанавливаться и работоспособ­ная система. При этом либо устраняется возникший отказ, либр изменяется (улучшается) техническое состояние объекта (прежде всего с точки зрения его безотказности). Сами вмешательства в функционирование АС могут носить характер замен или регулиро­вок. В последнее время при построении АС все шире используется (лемент. ная база, в которой сменными элементами являются моду­ли, субпанели, узлы и т. п., которые в подавляющем большинстве случаев являются неремонтируемыми и не имеют регулировок. По­этому в дальнейшем не будет различаться число вмешательств и число запасных элементов (ЗЭ). Вследствие того, что t*<F, вос­становление АС будет осуществляться в среднем чаще, что приве­дет к увеличению количества запасных элементов по сравнению со случаем восстановления после отказа.

Рассмотрим, как в рамках постановок задач § 3.1—3.4 можно оценивать количество ЗЭ, и прежде всего найдем, насколько уве­личивается число замен при эксплуатации по состоянию по срав­нению с восстановлением только после отказа.

Для управляемого марковского процесса (3.23) вероятность я» представляет собой стационарное значение безусловной вероятно — I in пребывания в состоянии і. Тогда при i=F яf есть вероятность о і кала в единицу времени, а следовательно, и вероятность проведе­ния работ по его устранению путем замены.

При введении уровня і* область поля допуска, при достижении ыпорой осуществляется замена, расширяется. Обозначим эту об­ласть оптимальной остановки через Г*. Вероятность замены, рав­ная вероятности того, что обслуживающий персонал осуществит вмешательство в работу АС, яг»= 7, я,-. Введем далее величину

/ег*

Ч (‘"■). представляющую собой отношение числа вмешательств при реализации оптимальных правил управления по алгоритму § 3.1 к числу іамен, необходимых только при ликвидации отказов, для случая, когда время эксплуатации бесконечно. Тогда

(5. 1)

представляет собой асимптотическую величину изменения ЗЭ. Пб — I пильну переменными в задаче линейного программирования (см;

§ 3.1) являются xis, (Выразим т](оо) через «их. Так как

F

Щ == XisІ

5®=1

то для области Г*

(5.3)

 

гег* j=i

Тогда с учетом выражений (5.1—5.3)

(5.4)

ІЄГ*Ї=1 І 5=1

Из теории эргодических марковских цепей известно [36], что

(5.5)

Аналогичное выражение существует для среднего значения ин­тервала возвращения в область оптимальной остановки:

?>.= (2Я‘) ==(2 2^) • (5-6) <вГ* / І6Г*5=1 /

Подставив (5.5) .и (5.6) в (5.4), получим

т](оо )—ТР/Тг*. (5.7)

Из выражения (5.7) следует, что в асимптотике увеличение числа ЗЭ зависит только от средних значений пребывания эргодического •управляемого марковского процесса в соответствующем множестве состояний, а знания этих характеристик достаточно для получения такой оценки. Вследствие того что, не накладывалось никаких усло­вий на структуру ограничений задачи линейного программирова­ния найденная оценка может быть использована как при учете ог­раничений типа (3.29), так и без них. Отличие будет состоять толь­ко в количественных значениях переменных xis и их числе. Очевид­но также, что предложенный подход применим при любой структу­ре ограничений, изменяемой при введении, например, дополнитель­ных ограничений, диктуемых спецификой использования аппарату — пы, областью допустимых решений и т. п.

Пример. Рассмотрим АС, поля допусков обобщенных параметров которых разделены на семь состояний (1, 2, 3,… 7), а характеристики изменения обобщен­ных параметров задаются матрицами вероятностей переходов Q і и Q ц (далее будем именовать их соответственно как процесс I и процесс II):

/►0,30	0,20	0,20	0,12	0,10	0,05	.0,034
0	0,30	0,20	0,15	0,15	0,12	0,08
0	0	0,30	0,25	0,20	0,15	0,10
0	0	0	0,30	0,30	0,25	0,15
0	0	0	0	0,30	0,35	0,35
0	0	0	0	0	0,30	0,70
V	0	0	0	0	0	1 )

Процесс I имеет значения вероятностей переходов (3.16) и может принимать любые значения р пределах поля допуска, процесс II является неубывающим.

Рассмотрим результаты решения задачи линейного программирования, полу­ченные при условиях, что достоверность контроля идеальна (р=1), а ограниче­ние (3.29) не учитывается. На основе найденных при вариации величины р= Гп/Тр семейств решений, соответствующих различным значениям Ї*, были рас­считаны величины т)(°°) (табл. 5.1).

Таблица 5.1 Характеристика Q 1-0,8 0,6 0,4 0,2 0,1 0,09 0,08 0,05 0,01 Процесс I, TIf- = 0,095 #* 7 6 4 3 2 Яр* 0,095 0,177 0,369 0,522 0,744 *i(°°) 1,0 1 86 3,88 5,49 7,83 Процесс II, зхг=0,2Э і* 7 6 5 4 3 2 0,23 0,282 0,346 0,425 0,545 0,7 Ч(‘") 1 1,23 1,5 1 85 2,37 3,04

Из табл. 5.1 следует, что при реализации оптимального правила управления число запасных элементов зависит как от вида случайного процесса, описываю­щей» поведение обобщенного параметра, так и от значения упреждающего до — н»1л. при котором происходит вмешательство в работу АС. Так, для процесса 1 нііниазон изменения количества ЗЭ значительно больше, чем при тех же зна — чеііііііх І* для процесса II. Это объясняется тем, что для процесса I принятие рсііісіпім в каждый момент контроля осуществляется, как правило, при большей и» определенности о будущем его поведении, а следовательно, возникает большая і’іііііГік.’і Поэтому управление процессом II оказывается более эффективным, что и ііііііішіяет уменьшить число потребных запасных элементов. Заметим, что при милых по абсолютной величине і* возрастание числа ЗЭ по сравнению со слу — чзем восстановления после отказа оказывается весьма значительным. Так, в за­їки имосги от вида процесса число замен при і*=’2 по сравнению с восстанов — ‘іі’Нііі’М только после отказа увеличивается в (3—8) раз.

Рассмотрим влияние на числр замен ограничения на вероятность отказа. Учіч достоверности результатов контроля (при введении функции fi(p)) может прицепи к уменьшению или увеличению значения і* по сравнению со случаем /і I, что, в свою очередь, вызывает изменение количества замен.

При учете ограничения на вероятность отказа может измениться не только величина і*, но и характер матрицы решения — последняя может оказаться ран­ними шронаиной. Если значение £* изменяется и при этом матрица решений ос — мігіси перандомизироваиной, то результаты (табл. 5.1) в полной мере отража — «II качественную картину влияния ограничения (3.29) на количество замен.

Остановимся на случае, когда матрица D рандомизирована. Пусть для про­цесса I при различных значениях v получено семейство решений задачи линей­ного программирования (3.7), (ЗЛб), (3.09) такое, что областьоптимальной ос­тановки одинакова — Г*={6, 7}. Используем найденные при этом значения ве­роятностей яг* Для расчета величин т](оо) и сопоставим последние с вероятнос­тями D6i (табл, і50). Здесь же для Сравнения указаны значения т)(оо), соответ­ствующие нерандомизированным Патрицам решения при і*=7 и {* = 6. Заме­тим, что решение задачи линейного программирования, найденное без учета ограничения (3129), совпадает с решением задачи при tt=0,i.

і " () Таблица 5.21

-А , Параметр *	V
0,1	0,09	0,08	Ограничение ие ВВОДИЛОСЬ
Det	0	0,182	0,603	1
І*	7	6	6	6
JTp#	0,0953	0,1144	0,1504	0,177
ч(°°)	1	1,21	1,58	1,86

Из таблицы видно, что введение более жестких требований по вероятности отказа прй постоянном І* приводит к необходимости увеличить количество за­пасных элементов. Так, при изменении величины о с 0,1 до 0,09 или 0,08 такое увеличение составляет соответственно 21 и 58%. Кроме того, по мере монотон­ного уменьшения v значения Г|(оо) монотонно возрастают.